Tip:
Highlight text to annotate it
X
În acest video vreau să ne familiarizăm cu noțiunea de limită,care este o noțiune foarte importantă.
Este o noțiune de bază în Calcul.
Dar, în ciuda faptului că este o noțiune foarte importantă, este destul de ușor de înțeles.
Deci să scriu o funcție aici- de fapt, să definesc întâi noțiunea de funcție
O funcție relativ ușoară. Haideți să definim f(x)- să spunem că f(x) va fi (x-1)/(x-1).
Și poate ca veți spune,"Hei Sal, privește am același lucru și la numărător și la numitor.
Dacă am ceva împărțit la el însuși, asta va fi egal cu 1! Nu aș putea să simplific asta și să scriu f(x)=1? "
Iar eu aș spune,"Păi, parțial ai dreptate, diferența dintre f(x)=1 și ce avem
aici fiind aceea că partea aceasta este nedefinită atunci când x=0. Deci dacă avem - să scriu aici- dacă avem
f(1), ce se întâmplă? La numărător, vei avea (1-1), care este...să scriu aici jos...
la numărător vei avea 0, iar la numitor ai (1-1), care este tot 0. Și orice împărțit
la 0, inclusiv 0/0, este nedefinit. Deci poți face simplificarea- poți spune că este
același lucru cu f(x)=1, dar va trebui sa adaugi condiția ca x să fie diferit de 1. Acum aceasta
și aceasta sunt echivalente. Ambele vor fi egale cu 1, pentru orice x diferit de 1. Dar
pentru x=1, devine nedefinită. Aceasta este nedefinită și aceasta este nedefinită. Deci *** va arăta graficul acestei funcții?
Voi face un grafic...Acesta este axa lui y=f(x) și apoi,asta aici, este axa lui x, să presupunem că
acesta este punctul x=1, acesta aici ar fi x=-1, acesta este y=1, iar aici îl pot face pe -1 dar acesta nu este
așa relevant pentru funcția de aici, și să desenez graficul.
și x diferit de 1, f(x)=1. Deci va arăta așa...cu exceptia lui 1. La 1, f(x) este nedefinită.
Voi lăsa un pic de spațiu aici, acest cerc, însemnând că această funcție
nu este definită- nu știm cu ce este egală această funcție la 1, nu am definit-o niciodată.
Această definiție a funcției nu ne spune ce sa facem cu 1- este literalmente nedefinită când x=1.
Aceasta este funcția de aici, deci încă odată, dacă cineva ar întreba cât este f(1), ai spune...
presupunând că asta ar fi definiția funcției, ai spune x=1. Oh, dar stai lipsește ceva din funcție
aici, este nedefinită. Mai scriu odată...este cam redundant dar mai scriu odată.
f(1) este nedefinită. Dar dacă v-aș întreba care este funcția cea mai apropiată
de x=1? Și acum începem să ne apropiem de noțiunea de limită. Deci când x tinde la 1
la cât o să tindă funcția? În tot acest timp, cine se apropie din ce în ce mai mult?
În partea stângă, oricât te-ai apropia de 1, dacă nu ai ajuns la 1,f(x)=1.
În partea dreaptă, obții același lucru. Deci ai putea spune- și ne vom
familiariza din ce în ce mai mult cu ideea, pe măsură ce vom analiza mai multe exemple- ca limita
(lim este prescurtarea pentru limită) când x tinde la 1 din f(x) este egal cu...
Cu cât ne apropiem ajungem inimaginabil,extrem de aproape de 1 atâta timp cât nu suntem în 1...
Și funcția noastră va fi egală cu 1, se apropie din ce în ce mai mult de1,
este de fapt în 1 tot timpul. Deci în acest caz, putem spune că limită când x tinde la 1 din f(x)
este 1. Deci încă odată, deși are o notație mai extravagantă, tot ce spunem este "Uite, de ce valoare se apropie funcția
când x se apropie de 1?"
Dați-mi voi să vă mai arăt un exemplu unde avem de-a face cu o curbă, ca să vă faceți o idee generală.
Să presupunem că am o funcție f(x)- dați-mi voie, așa ca variație, să o numesc g(x).
Să presupunem că g(x) este egal cu - o pot defini astfel, o putem defini ca x²
când x este diferit de 2, și să spunem când x=2, este egală cu 1. Deci încă odată avem o funcție interesantă
care- după *** vom urmează să vedem- nu este continuă. Are o discontinuitate. Să desenez graficul.
Deci aici avem y=f(x), aici avem axa lui x. Să spunem că aici este x=1, aici este x=2,
aici este -1, aici este -2...Peste tot cu excepția lui x=2, este egal cu x².Să o desenez aici așa,
va fi o parabolă, arată cam așa...Va arăta cam așa...
Voi desena o versiune mai bună a parabolei.Deci arată cam așa, nu este tocmai cea mai frumos
desenată parabolă din istoria parabolelor desenate, dar cred că vă puteți face o idee despre *** ar trebui să arate o
parabolă. Ar trebui să fie simetrică...Dați-mi voie să o mai desenez odată, pentru că a ieșit cam urâtă.
Acum arată mai bine,în regulă, gata.Bun.
Acum, acesta ar trebui să fie graficul lui x², dar nu este x² când x=2. Deci încă odată, când x=2,
Avem un pic de discontinuitate aici, voi desena un gol chiar aici,
deoarece când x=2, funcția este egală cu 1.
Nu le voi desena la aceeași scară...Pe graficul lui f(x)=x² aici am avea 4, aici am avea 2,
aici ar fi 1, aici ar fi 3. Deci, x=2, funcția noastră este egală cu 1.
Aceasta este o funcție un pic bizară, dar o puteți defini astfel, puteți definii funcțiile oricum
*** vreți voi! Și astfel,observăm, este asemenea graficului lui f(x)=x² cu excepția faptului că atunci când ajungem la 2,
apare acest gol, deoarece nu folosim acest "g(x)=x², când x=2", ci folosim "g(x)=1".
Dacă am spus f(x), îmi cer scuze.
Folosim g(x)=1, deci exact la 2, cade până la 1, urmând ca apoi să își continue traseul de-a lungul lui funcției g(x)=x².
Deci să tragem câteva concluzii. Dacă ar trebui să evaluez funcția g(2),
când privim această definiție, am spune că dacă x=2, folosim situația de aici,
și văd că rezultatul va fi egal cu 1. Să vă adresez o întrebare
mai interesantă. Cât este limită când x tinde la 2 din g(x)? Încă o notație extravagantă, care
exprimă însă o întrebare simplă. Spune "cu cât x se apropie de 2"
cu cât se apropie mai tare- și asta nu este o definiție riguroasă,vom avea de acestea în videoclipurile viitoare-
cu cât x se apropie de 2, care este valoarea de care se apropie g(x)? Deci dacă ajungi la 1,9, și apoi la 1.999, și apoi la 1.99999
și apoi la 1.9999999, de ce valoare se apropie g(x)? Dacă ar fi să mergem în direcția pozitivă,
dacă ai fi la 2.1, cât ar fi g(2.1)? Cât este g(2.01)?Cât este g(2.001)?
Spre ce valoare tinde când ne apropiem din ce în ce mai mult?
Și o puteți vizualiza desenând graficul. Când g se apropie din ce în ce mai mult de 2...
Dacă ar fi să urmărim pe grafic, observăm că ne apropiem de 4,
chiar dacă valoarea funcției nu este acolo, deoarece scade la 1- limita lui g(x) când
x tinde la 2 este egală cu 4. Puteți face asta și numeric folosind un calculator.
Și dați-mi voie să fac asta deoarece va fi interesant. Să găsesc calculatorul...
Să-l scot pe TI-85,calculatorul meu de încredere...Aici este calculatorul meu... Gândind numeric, am putea spune,
bun, de ce valoare se apropie când tindem spre x=2? Să încercăm pentru 1.9. Pentru x=1.9,
vom folosi valoarea funcției de aici. Deci vom avea 1.9², adică obținem 3.61.
Dar dacă ne apropiem și mai mult de 2? Deci 1.99 și ridic iar la pătrat,
și am obținut 3.96. Dar dacă aleg 1.999 și îl ridic la pătrat?
Obțin 3.996. Observați, mă apropii din ce în ce mai mult de punctul nostru
Dacă mă apropii și mai mult - 1.999999999999²? Ce voi obține? Nu voi obține
exact valoarea 4- calculatorul acesta rotunjește valorile- dar ne apropiem foarte foarte foarte
foarte tare de 4. Și putem rezolva și din partea pozitivă și de fapt
ar trebui să fie același număr și când ne apropiem de jos și când ne apropiem
de sus. Deci dacă încercăm 2.1², obținem 4.4...
Dați-mi voie să avansez puțin
2.0001². Aceasta este și mai aproape de 2. Acum ne apropiem mai mult de 4
Deci cu cât ne apropiem de 2, cu atât suntem mai aproape de 4.
Deci încă odată, acesta este o modalitate numerică de a vizualiză limita când x se apropie de 2 din ambele direcții
ale lui g(x)- chiar dacă exact în 2, funcția este egală cu 1, deoarece este discontinuă-
limita cu cât ne apropiem de 2, se apropie din ce în ce mai mult ca valoare de 4.