Tip:
Highlight text to annotate it
X
Numere complexe
Mă numesc Adrien Douady.
Toată opera mea matematică se concentrează
în jurul numerelor complexe.
Am contribuit la progresul geometriei algebrice
și a teoriei sistemelor dinamice.
Numerele complexe au o istorie lungă.
Puteți vedea aici, la stînga, pe Tartaglia și Cardano,
pionierii, care au trăit în perioada Renașterii.
La dreapta, pe Cauchy și Gauss,
care au consolidat teoria, în timpul secolului XIX.
Numerele complexe nu sunt atît de
complexe, pe cît s-ar crede la prima vedere !
La început ele au fost numite "numere imposibile"
și chiar și acum ni se întîmplă să le numim "imaginare".
Într-adevăr, un pic de imaginație nu strică...
Dar în ziua de astăzi, aceste numere apar peste tot în știință
și nu mai sunt considerate misterioase.
În particular, cu ajutorul lor putem
construi mulțimi fractale foarte frumoase
și eu am lucrat foarte mult pe acest subiect.
Am realizat chiar un film : Dinamica iepurelui,
unul din primele filme de animație matematică.
Pentru început o să vă explic numerele complexe la tablă.
Matematicienilor le place să scrie cu creta...
Veți vedea că rigla, echerul si raportorul,
au cîteodată comportamente neobișnuite...
Să trasăm o dreaptă graduată pe tablă.
Una din cele mai frumoase idei în matematică
este de a lega geometria și algebra.
Acesta este începutul geometriei algebrice.
Vom putea aduna punctele, la fel *** adunăm numerele.
Uitați un punct roșu pe dreaptă, împreună cu un punct albastru.
Să adunăm aceste două puncte.
Obținem punctul verde ! unu și cu doi dă trei !
Dacă punctele roșu și albastru se mișcă,
atunci se va mișca și punctul verde care este suma lor.
Și mai interesant, putem să inmulțim punctele,
Să observăm, de exemplu, înmulțirea cu -2.
Ea transformă punctul 1 în punctul -2, bineînțeles.
Și dacă mai înmulțim o dată cu -2,
trebuie să urmăm aceeași mișcare :
trebuie să schimbăm sensul față de origine
și să dublăm distanța la origine.
Obținem 4, bineînțeles.
Două înmulțiri la rînd cu -2,
dau o înmulțire cu 4.
Înmulțirea cu -1 este foarte simplă.
Fiecare punct este trimis in simetricul său
față de origine,
adică efectuează o jumătate de tur,
sau, dacă preferați, o rotație de 180 de grade.
Dacă înmulțim un număr cu el insuși,
rezultatul este întodeauna un număr pozitiv.
De exemplu, pentru înmulțirea cu -1,
efectuăm o jumătate de tur ;
și dacă efectuăm din nou aceeași operație,
o să ne întoarcem în punctul inițial !
Din această cauză, -1 înmulțit cu -1 este egal cu + 1,
pur și simplu.
Vedeți de exemplu că înmulțirea cu -1
transformă 2 în -2
și dacă înmulțim încă o dată cu -1,
obținem din nou 2.
Evident, nu-i-așa ?
Nu există deci nici un număr,
care înmulțit cu el insuși să dea -1.
Aceasta înseamnă că -1 nu are nici o rădăcină pătrată.
Bineînțeles, acum intră în joc
imaginația matematicienilor !
Robert Argand a avut o idee foarte fructuoasă la începutul secolului al XIX-lea.
Ce și-a zis el : "dacă înmulțirea cu -1
înseamnă o rotație de 180 de grade,
rădăcina sa pătrată trebuie să fie o rotație de două ori mai mică, adică de 90 de grade.
Dacă rotesc de două ori de un sfert de tur,
obțin o rotație de o jumătate de tur !
Pătratul unui sfert de tur este deci o jumătate de tur, adică -1."
Simplu, dar ingenios !
Argand spune deci că rădăcina pătrată a lui -1
corespunde unui punct, care se obține aplicînd rotația de 90 de grade punctului 1.
Acest procedeu ne obligă bineînțeles să ieșim din dreapta orizontală,
și să asociem de asemenea un număr
punctelor planului care nu se află pe dreaptă !
Fiindcă această construcție este puțin ciudată,
spunem că punctul rădăcină pătrată a lui -1 este un număr imaginar
pe care matematicienii îl notează i.
Odată ce am îndrăznit să ieșim de pe dreaptă,
urmarea este ușoară.
Putem să reprezentăm numerele 2i, 3i etc.
Tuturor punctelor planului le corespunde un număr complex
și reciproc, orice număr complex definește un punct din plan.
Toate punctele planului au devenit numere !
Aceste numere pot fi adunate.
Priviți punctul roșu, care corespunde numărului 1 + 2i.
Să-i adunăm numărul 3+i care corespunde punctului albastru.
Putem pur și simplu să efectuăm adunarea
așa *** am învățat la școală
și obținem 4 + 3i.
Din punct de vedere geometric, nu este vorba decît de adunarea vectorilor.
Vedeți deci că numerele complexe se pot aduna fără nici o problemă !
Dar ceea ce este și mai interesant,
este că aceste numere complexe se pot și înmulți
ca și numerele reale.
Ia să vedem...
Știm să înmulțim un număr complex cu 2 de exemplu.
Dacă înmulțim 1+ i cu 2 obținem
2 + 2 i etc.
Din punct de vedere geometric, înmulțirea cu 2 este ușoară :
este vorba de o dilatație de raport 2 :
dublul punctului roșu, este punctul verde !
Înmulțirea cu i nu este nici ea prea complicată
căci știm că i corespunde cu un sfert de tur.
Ca să înmulțim 3 + i cu i,
ajunge deci să rotim punctul cu un sfert de tur.
Găsim -1 + 3 i.
Aceste numere complexe nu sunt atît de complexe !
În final putem înmulți două numere complexe
oarecare fără nici o problemă.
Să încercăm de exemplu să înmulțim 2+ 1,5 i și -1 + 2,4 i.
Procedăm ca de obicei,
înmulțim întîi cu 2, pe urmă cu 1,5 i și adunăm rezultatele.
Obținem deci :
"de două ori plus etc..."
Avem deci
-2 + 4,8 i - 1,5 i + 3,6 înmulțit cu i înmulțit cu i
Dar să ne amintim că patratul lui i este - 1,
căci așa l-am inventat !
Obținem
-2 + 4,8 i plus etc.
Să aranjăm puțin rezultatul. Găsim
-2 -3,6 + 4, 8 i - 1,5 i,
adică
-5,6 + 3,3 i.
Am devenit acum capabili
să înmulțim numerele complexe,
adică știm acum să înmulțim punctele planului între ele !
Incredibil,
credeam că planul este de dimensiune 2
căci sunt necesare două numere
pentru a descrie poziția unui punct oarecare,
și acum vă spun că un singur număr este suficient !
Bineînțeles pentru aceasta am schimbat numerele !
și acum este vorba despre numere complexe !
A venit timpul să definim două noțiuni
modulul și argumentul unui număr complex.
Modulul unui număr complex z,
este distanța între origine și punctul corespunzător al planului.
Să măsurăm cu ajutorul riglei modulul punctului roșu,
adică 2 + 1,5 i.
Ia să vedem, am măsurat o lungime de 2,5.
Modulul lui 2 + 1,5 i este deci 2,5.
Pentru punctul albastru găsim 2,6.
Și pentru punctul verde, care corespunde produsului
punctelor roșu și albastru,
obținem 6,5.
Este un fapt general : modulul produsului a două numere complexe
este produsul modulelor celor două numere.
Argumentul unui număr complex
se obține măsurînd unghiul între axa absciselor
și dreapta unind originea cu punctul.
Aici de exemplu, argumentul numărului complex roșu
este de 36,8 grade.
Cel al punctului albastru este de 112,6 grade.
Și cel al produsului, punctul verde, este de 149,4 grade :
este suma argumentelor celor două numere complexe...
Cînd înmulțim două numere complexe,
modulele se înmulțesc și argumentele se adună.
Să terminăm această primă întîlnire cu numerele complexe
cu proiecția stereografică.
Să considerăm o sferă tangentă tablei în punctul origine.
Cu ajutorul proiecției stereografice,
fiecărui punct al planului tablei,
adică fiecărui număr complex,
îi corespunde un punct pe sferă.
Doar polul nord al sferei,
care este polul proiecției,
nu are nici un număr complex asociat.
Spunem că este asociat numărului infinit.
De aceea, matematicienii spun că sfera
este o dreaptă proiectivă complexă.
De ce dreaptă ?
Fiindcă un singur număr este necesar pentru a descrie punctele !
De ce complexă ?
Fiindcă acest număr este complex.
De ce proiectivă ?
Fiindcă am adăugat un punct la infinit după ce am proiectat.
Îi găsiți ciudați pe acești matematicieni
care spun acum că sfera este o dreaptă ?