Tip:
Highlight text to annotate it
X
Fibratie...Continuare
Să reluăm sfera S² cu paralele ei.
Deasupra fiecărui punct din S²,
trebuie să imaginăm un cerc al lui Hopf.
Să observăm ce avem deasupra unuia din paralelele lui S²,
de exemplu a ecuatorului.
Iată ce se află deasupra unui alt paralel.
care se deplasează înspre sud.
Din ce cauză torul pare să devină foarte subțire ?
Deoarece deasupra polului sud,
Nu există desigur decît un singur cerc.
Iar deasupra polului nord, vedem o dreaptă,
de fapt un cerc ce trece prin infinit, este dreapta roșie !
Haideți să rotim acum toate acestea.
Rotații, da, însă rotații
ale spațiului de dimensiune 4, desigur.
Cinstit vorbind, trebuie să spun că o parte din aceste figuri
era deja cunoscută cu mult înaintea mea.
I se atribuie marchizului de Villarceau
existența a patru familii de cercuri pe tor,
dar se găsesc de fapt indicii de exemplu
într-o sculptură de la catedrala din Strasburg.
Să luăm un tor de rotație :
este suprafața descrisă de către un cerc
care se rotește în jurul unui ax situat în planul său.
Să observăm secțiunea torului printr-un plan.
Remarcați aici *** am ales planul.
Se spune că este bitangent torului,
pur și simplu pentru că este tangent în exact două puncte.
Priviți atunci bine,
planul taie torul de-a lungul a două cercuri perfecte.
Aceasta este teorema lui Villarceau :
un plan bitangent la un tor îl decupează de-a lungul a două cercuri.
Bine înțeles, nu există doar un singur plan bitangent.
Iată un altul care taie de-a lungul a două alte cercuri Villarceau.
Și putem face același lucru pentru toate planurile bitangente :
este suficient să le rotești.
Vedeți, prin fiecare punct al unui tor de rotație
putem face să treacă patru cercuri,
obţinute tăind prin planuri alese judicios.
Unul din aceste cercuri este un paralel,
un altul este un meridian,
apoi un prim cerc Villarceau
și un al doilea.
Și *** putem face același lucru pentru oricare punct al torului,
vedem atunci că torul este acoperit de patru familii de cercuri.
Două cercuri din aceeași familie nu se întîlnesc.
Un cerc albastru întîlnește un cerc roșu într-un singur punct.
Un cerc galben și un cerc alb se întîlnesc în două puncte :
sînt cercuri Villarceau.
Priviți bine cercurile galbene :
sînt cercuri Hopf !
Vă amintiți cînd observam
ceea ce se află în fibrare deasupra unui paralel ?
Vedeam un tor umplut de cercuri înlănțuite două cîte două,
la fel ca acest tor umplut de cercuri galbene.
Iar cercurile albe, îmi veți spune ?
Ei bine, sînt fibrele unei alte fibrări ale lui Hopf !
cea care se obține privind prima într-o oglindă...
Pentru a termina plimbarea noastră,
vom lua un tor de rotaţie,
cu cele patru familii de cercuri ale sale,
îl vom imagina în sfera S³,
după care vom roti sfera în spațiul de dimensiune 4,
și în sfîrșit o vom proiecta stereografic
pe spațiul de dimensiune 3.
Obținem astfel suprafețe
care sînt deasemenea acoperite de patru familii de cercuri :
sunt ciclidele lui Dupin.
Uneori, cînd torul trece prin polii proiecției,
suprafața trece prin infinit...
Prin această mișcare, cele două fețe pot fi chiar inversate.
Interiorul torului este roz, iar exteriorul este verde.
O simplă rotaţie în a patra dimensiune și hop !
verdele devine roz și rozul devine verde.
Nu este splendid ?!