Tip:
Highlight text to annotate it
X
A patra dimensiune
Numele meu este Ludwig Schläfli,
sunt un geometru elvețian.
Am trăit in secolul nouăsprezece
și vă voi deschide porțile celei de-a patra dimensiuni !
Fără să mă laud, sunt un vizionar.
Am fost printre primii care și-au dat seama
că spațiile cu mai multe dimensiuni
există în realitate
și că putem să le studiem geometria.
Ființele plate ce trăiesc într-o lume plană
pot să înțeleagă existența poliedrelor de dimensiune 3.
De ce noi nu am putea ințelege poliedrele de dimensiune 4 ?
Una din contribuțiile mele majore
a fost descrierea tuturor poliedrelor regulate în dimensiune 4.
Ce este a patra dimensiune ?
S-au scris multe despre ea,
iar autorii de science-fiction o utilizează frecvent !
Vă voi explica toate acestea la tablă.
După *** veți vedea, această tablă este puțin magică.
Este important să ne pregătim să facem abstracție de lumea
cu care suntem obișnuiți
și să ne imaginăm o lume
la care ochii și simțurile noastre nu ne dau un acces direct.
Va trebui să folosim un șiretlic, precum am făcut cu reptilele.
Mă voi urca pe un promontoriu,
pe care nu aveți *** să-l vedeți,
și voi încerca să vă descriu ceea ce văd.
Înainte de toate însă, voi trasa o linie dreaptă pe tablă.
Aici voi plasa originea, sau punctul zero.
Fiecare punct de pe această linie
poate fi localizat prin distanța la origine,
căruia i se adaugă semnul minus dacă este la stînga
și semnul plus dacă este la dreapta.
Notăm de obicei aceste număr cu x
și îl numim abscisa punctului.
Deoarece poziția unui punct de pe dreaptă
este descrisă de un singur număr,
spunem că dreapta este de dimensiune 1.
Trasez acum o a doua axă,
perpendiculară pe prima.
Fiecare punct de pe tablă
este acum complet descris de două numere
care sunt notate tradițional x și y : abscisa și ordonata.
Planul este de dimensiune 2.
Dacă vreți să explicați unei ființe care trăiește pe o dreaptă
ce este un punct al planului, pe care nu-l cunoaște,
puteți să-i spuneți foarte simplu
"un punct al planului este o pereche de numere".
Să trecem la a treia dimensiune.
Creta scrie în spațiu
și trasează a treia axă, perpendiculară pe celelalte două.
Un punct din spațiu este descris de trei numere,
x, y și z.
Am putea spune reptilelor
curioase să știe ce este lumea noastră :
" un punct din spațiu este simplu dat de trei numere".
Să trecem la a patra dimensiune.
Putem să încercăm să trasăm a patra axă
perpendiculară pe celelalte, dar este imposibil !
Deci trebuie să procedăm altfel.
Putem bineînțeles să spunem
că un punct din spațiul de dimensiune 4,
înseamnă să ne dăm patru numere x, y, z, t.
Însă aceasta nu ne lămurește prea bine !
Cu toate acestea vom încerca să
intuim această geometrie.
O primă metodă pentru a avansa
este de a proceda prin analogie.
Iată un segment ...
... și acum un triunghi echilateral...
și în sfîrșit un tetraedru regulat.
Tabla noastră magică ne permite să-l desenăm în spațiu.
*** să continuăm seria în dimensiunea 4 ?
Să observăm că segmentul, triunghiul, tetraedrul,
au 2,3, și respectiv 4 vîrfuri.
Putem încerca așadar să continuăm cu 5 vîrfuri !
Să încercăm.
În segment, triunghi sau tetraedru,
fiecare pereche de vîrfuri este unită de o muchie.
Deci va trebui să unim cele 5 vîrfuri, două cîte două.
Să numărăm
o muchie
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 și 10 muchii.
În tetraedru,
există o față triunghiulară pentru fiecare trei vîrfuri.
Procedăm la fel,
ceea ce ne dă 1 față triunghiulară,
2, 3, ... , 10 fețe.
Dar dacă vom continua analogia,
va trebui să adaugăm și cîte o față tetraedrică
la fiecare patru vîrfuri.
Asta face 5 în total.
Obiectul nostru patru-dimensional este construit.
Acesta este numit un "simplex" !
Să-l facem să se învîrtească in spațiu
așa *** am făcut mai devreme cu tetraedrul.
Trebuie să ne imaginăm că simplexul se învîrtește
într-un spațiu de dimensiune 4
și deci ceea ce vedeți este doar proiecția sa pe tablă.
Ceea ce complică și mai mult lucrurile,
este faptul că fețele se amestecă și se întrepătrund.
Deci ne trebuie ceva experiență pentru a vedea in dimensiunea 4.
Putem lua simplexul,
care este în dimensiunea 4
și să-l deplasăm în așa fel încît să intersecteze
progresiv spațiul "nostru" de dimensiune 3.
Tot așa *** reptilele
vedeau un poligon care apărea și apoi dispărea,
noi vedem un poliedru de dimensiune 3
care apare, se deformează și apoi dispare.
Iată-l ! Simplexul a traversat spațiul nostru de dimensiune 3.
Vom face acum cunoștința
cu alte poliedre de dimensiune 4
care traversează spațiul nostru de dimensiune 3.
Iată hipercubul, care generalizează familia
ce începe cu segmentul, pătratul și cubul.
Trebuie să recunoaștem că nu este ușor să ne formăm o intuiție
prin metoda secțiunilor, ce tocmai am utilizat-o...
Am descoperit analogul icosaedrului și dodecaedrului.
Acestea poartă nume complicate
dar le voi numi, mai simplu, 120 si 600
căci primul are 120 de fețe și al doilea are 600.
Priviți 120 care ne traversează spațiul.
Și iată-l pe 600.
Cînd spun că un poliedru de dimensiune 4 are 600 de fețe,
vorbesc de fețele sale tri-dimensionale.
Cele 600 de fețe sînt tetraedre.
În timp ce 120 este constituit din 120 de dodecaedre !
Vom învăța puțin mai tîrziu *** să le cunoaștem mai bine.
Pentru a observa aceste obiecte 4-dimensionale
cu ochii noștri tri-dimensionali,
putem să ne servim de umbrele lor.
Obiectele sunt în spațiul cu 4 dimensiuni
și le proiectăm pe spațiul nostru de dimensiune 3
în același mod în care un artist proiectează un peisaj pe pînză.
Asta am și făcut deja cu simplexul.
Iată hipercubul.
Bineînțeles, acesta se învîrtește în spațiu
pentru a-i putea observa mai bine detaliile.
Vedem de exemplu că hipercubul are 16 vîrfuri.
Iată un nou venit.
Cea mai frumoasă din descoperirile mele.
Un obiect ce-l voi numi 24
și care nu are nici un analog în dimensiunea 3.
O creatură pur 4-dimensională.
Sunt foarte mîndru de descoperirea mea.
Admirați-l ! 24 de vîrfuri, 96 de muchii, 96 de triunghiuri și 24 de octaedre.
O minune !
Iată și umbra lui 120,
în toată frumusețea sa !
O frumusețe complexă, trebuie spus !
Să ne strecurăm în interiorul său și să-i examinăm structura.
Să-l admirăm: 600 de vîrfuri, 1200 de muchii.
Din fiecare vîrf pleacă 4 muchii.
O structură complet regulată.
Toate vîrfurile, toate muchiile joacă același rol.
Și asta în condițiile în care prin proiecție se pierde din regularitatea obiectului.
Să facem un efort
și să ne imaginăm obiectul în spațiul de dimensiune 4.
în care un enorm grup de rotații
permută toate aceste vîrfuri și muchii.
Iată-l pe campion, 600.
Precum o macro-moleculă gigant
cu cele 720 de muchii și 120 de vîrfuri.
12 muchii pleacă din fiecare vîrf.
Însă aventura noastră cu poliedrele
de dimensiune 4 nu se va opri aici
căci am putea paria că proiecțiile stereografice
ne-ar putea da înca o și mai bună intuiție.