Tip:
Highlight text to annotate it
X
Ce-i o demonstrație?
De ce-i așa de importantă în matematică?
Demonstrațiile oferă o bază solidă pentru matematicieni,
logicieni, statiscieni, economiști, arhitecți
și pentru mulți alții, în construirea și verificarea teoriilor.
Demonstrațiile sunt pur și simplu impresionante!
Să începem cu începutul.
Vi-l prezint pe Euclid,
ca-n „uite că se uită la tine, Clid.”
A trăit în Grecia acum aproximativ 2.300 de ani
și este considerat tatăl geometriei.
Dacă sunteți fani ai demonstrațiilor geometrice,
trimiteți-i mail lui Euclid din Alexandria.
Euclid nu-i cunoscut pentru inventarea sau descoperirea matematicii
ci pentru revoluționarea felului în care se scrie,
se demonstrează și se interpretează.
Euclid și-a propus să oficializeze matematica prin stabilirea regulilor jocului.
Aceste reguli sunt denumite axiome.
Odată ce știm regulile,
trebuie să le folosim pentru a demonstra ce credem că-i adevarat.
Dacă nu putem, atunci teorema sau idea
poate fi falsă.
Dacă teorema e falsă, atunci orice teoremă dedusă din aceasta
poate fi falsă,
ca o grindă care dărâmă casa dacă-i pusă greșit.
Astea-s demonstrațiile -
folosirea de reguli prestabilite pentru a demonstra că teorema e adevarată.
Apoi folosim teoremele ca pe niște piese
cu care construim baza matematicii.
Să luăm un exemplu:
vreau să demonstrez că aceste două triunghiuri
au aceeași mărime și formă.
Cu alte cuvinte, sunt congruente.
Prima metodă e să scriem o demonstrație
prin care arătăm că cele trei laturi ale unui triunghi
sunt congruente cu cele trei laturi ale celui de-al doilea triunghi.
*** putem demonstra?
Mai întâi, scriem ce știm:
punctul M se află la mijlocul laturei AB;
laturile AC și BC sunt congruente.
Acum să vedem ce știm despre punctul din mijloc?
Din fericire știu definiția -
se află la mijloc.
Asta înseamnă că laturile AM și BM au aceeași lungime
dacă punctul M se află la mijlocul laturei AB.
Cu alte cuvinte, baza fiecărui triunghi este congruentă.
Acesta e pasul doi.
Super! Până acum am două perechi de laturi congruente.
Ultima parte e cea mai ușoară.
A treia latură din triunghiul din stânga
e CM și a treia latură din triunghiul din dreapta
e tot CM.
Triunghiurile au aceeași latură comună.
Acestea sunt respectiv congruente.
Denumim această relație ca fiind reflexivă.
Toate sunt respectiv congruente.
Acesta e pasul trei.
Ta dah! Tocmai am demonstrat că cele trei laturi ale triunghiului din stânga
sunt congruente celor trei laturi ale triunghiului din dreapta.
În plus, cele două triunghiuri sunt congruente
în baza teoremei de congruență latură-latură-latură.
După ce termin o demonstrație, obișnuiesc să fac ce făcea Euclid.
Nota la sfârșitul demonstrației acronimul QED
care semnifică în latină „quod erat demonstrandum”,
care se traduce literal prin
„ceea ce trebuia demonstrat.”
Mie-mi place să folosesc „uite ce-am făcut!”
Știu că vă întrebați
de ce ar trebui să studiați demonstrațiile?
Unul din motive e că puteți câștiga orice argument.
Abraham Lincoln, unul dintre cei mai vestiți conducători,
ținea o copie a cărții lui Euclid, „Elementele”, pe noptieră
ca să-și antreneze memoria.
Alt motiv e că puteți câștiga un milion de dolari.
Ați auzit bine.
Un milion de dolari.
Atât oferă Institutul de matematică Clay, din Massachusetts
oricărei persoane care demonstrează una din teoriile nedemonstrate,
denumite „Problemele mileniului”.
Câteva au fost rezolvate în anii 1990 și 2000.
Dar pe lângă bani și argumente,
demonstrațiile se găsesc pretutindeni.
Stau la baza arhitecturii, artei, programării și securității internetului.
Dacă nimeni n-ar fi înțeles sau n-ar fi creat o demonstrație,
lumea n-ar fi putut avansa în părțile esențiale.
Știm că demonstrațiile constau în rezultate
și ne plac rezultatele. QED.